Приметы равности треугольников


Признаки равенства треугольников | Треугольники

Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.

В геометрии используются три признака равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

(по двум сторонам и углу между ними)

 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

(по стороне и двум прилежащим к ней углам)

 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

(по трем сторонам)

 

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Кроме трех общих случаев, существуют еще четыре признака равенства прямоугольных треугольников.

Знаков равенства треугольников

Знаки равенства треугольников

• Тип урока: изучение и первоначальное закрепление новых знаний. • Цели урока. • Введите понятие теоремы и доказательства теоремы; • Доказывать признаки равенства треугольников; • Научиться решать задачи по применению знаков равенства треугольников.

• План урока: • • • Организация времени. Знаки равенства треугольников и доказательство теоремы. Вопросы Дайте домашнее задание. Подведение итогов урока.

• первый знак равенства треугольников - по двум сторонам и угол между ними) • Если две стороны и один угол треугольника между двумя сторонами равны, а угол между другим треугольником, эти треугольники равны.

.

треугольников - равносторонние, равнобедренные и чешуйчатые

Треугольник имеет три стороны и три угла

Три угла всегда складываются в 180 °

Равносторонний, равнобедренный и чешуйчатый

Треугольникам даны три специальных имени, которые показывают, сколько сторон (или углов) равны.

Может быть 3 , 2 или нет равных сторон / углов:

Равносторонний треугольник

Три равных стороны
Три равных угла, всегда 60 °

Равнобедренный треугольник

Две равные стороны
Два равных угла

Скаленовый треугольник

Нет равные стороны
Нет равные углы


Как запомнить? По алфавиту идут 3, 2, нет:

  • Равносторонний : "равный" - боковой (боковой означает сторона), поэтому все стороны имеют равные стороны
  • Равнобедренный : означает «равноногие», а у нас две ноги , верно? Также i SOS celes имеет два одинаковых "S ides", соединенных стороной " O dd".
  • Скален : означает «неровный» или «нечетный», поэтому нет равных сторон.

Какой угол?

Треугольники также могут иметь имена, которые сообщают вам, какой тип угла находится внутри :

Острый треугольник

Все углы меньше 90 °

Прямой треугольник

Имеет прямой угол (90 °)

Тупой треугольник

Имеет угол более 90 °


Объединение имен

Иногда у треугольника будет два имени, например:

Правый равнобедренный треугольник

Имеет прямой угол (90 °), а также два равных угла.

Вы можете угадать, каковы равные углы?

Поиграй с ним...

Попробуйте перетащить точки и составить разные треугольники:

Вы также можете поиграть с Интерактивным треугольником.

Уголки

Три внутренних угла всегда составляют 180 °

Периметр

Периметр - это расстояние по краю треугольника: просто сложите три стороны:

Площадь

Площадь составляет , половина базовой, умноженная на высоту .

  • "b" - расстояние по основанию
  • "h" - высота (измеренная под прямым углом к ​​основанию)

Площадь = ½ × b × h

Формула работает для всех треугольников.

Примечание: более простой способ записать формулу - bh / 2

Пример: Какова площадь этого треугольника?

(Примечание: 12 - это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Основание может быть с любой стороны. Убедитесь, что "высота" измеряется под прямым углом к ​​"основанию". :

(Примечание: вы также можете рассчитать площадь по длинам всех трех сторон, используя формулу Герона.)

Почему область «половина bh»?

Представьте, что вы «удвоили» треугольник (перевернули его вокруг одного из верхних краев), чтобы получить квадратную форму (параллелограмм), которую можно изменить на простой прямоугольник:

ЗАТЕМ вся площадь составляет bh , что соответствует обоим треугольникам, поэтому только один будет ½ × bh .

,

Неравенство треугольников: стороны и углы

Неравенства треугольника: стороны и углы

Вы только что видели, что если у треугольника равных сторон , углы, противоположные этим сторонам, равны, а если у треугольника равных углов , стороны, противоположные этим углам, равны. Есть две важные теоремы о неравных сторонах и неравных углах в треугольниках. Их:

Теорема 36: Если две стороны треугольника не равны, то размеры углов, противоположных этим сторонам, не равны, и больший угол противоположен большей стороне.

Теорема 37: Если два угла треугольника не равны, то размеры сторон, противоположных этим углам, также не равны, и более длинная сторона противоположна большему углу.

Пример 1: На рисунке 1 изображен треугольник с углами разных размеров. Перечислите стороны этого треугольника в порядке от наименьшей к наибольшей.

Рисунок 1 Перечислите стороны этого треугольника в порядке возрастания.

Поскольку 30 ° <50 ° <100 °, тогда RS < QR < QS .

Пример 2: На рисунке 2 показан треугольник со сторонами разных размеров. Перечислите углы этого треугольника в порядке от наименьшего к наибольшему.

Рисунок 2 Перечислите углы этого треугольника в порядке возрастания.

Поскольку 6 <8 <11, то м N < м M < м P .

Пример 3: На рисунке 3 справа показан Δ ABC .Какая сторона должна быть самой длинной?

Рис. 3 Укажите самую длинную сторону этого прямоугольного треугольника.

Поскольку ∠ A + м B + м C = 180 ° (по теореме 25) и м ∠ = 90 °, мы имеем м A + м C = 90 °. Таким образом, каждая из м A и м C меньше 90 °.Таким образом, ∠ B - это угол наибольшей величины в треугольнике, поэтому его противоположная сторона является самой длинной. Следовательно, гипотенуза AC является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

,

Угловые свойства треугольников | Ресурсы Wyzant

Теперь, когда мы знакомы с классификациями треугольников, мы можем начать наше обширное изучение углов треугольников. Во многих случаях нам придется использовать угловые теоремы мы видели, чтобы помочь нам решить проблемы и доказательства. Однако есть некий треугольник теоремы, которые будет так же необходимо знать. Эта первая теорема говорит нам, что, зная размеры двух углов треугольника, можно определить мера третьего угла.

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма размеров внутренних углов треугольника равна 180.

Диаграмма выше иллюстрирует теорему о сумме углов треугольника.

Давайте рассмотрим несколько примеров с использованием теоремы о сумме треугольника, чтобы понять ее полезность.

Примеры

(1) Найдите размер ? C .

Решение:

Как и в случае со всеми проблемами, мы должны сначала использовать факты, которые нам сообщают. Используя На диаграмме дано, что

Поскольку наша цель - найти величину ? C , мы можем использовать треугольник Теорема суммы углов для определения недостающего угла.Итак, у нас

Используя полученные угловые меры, мы можем подставить эти значения в наши уравнение, чтобы получить.

Имея размеры ? C до 26 ° , удовлетворяет свойству что сумма внутренних углов треугольника равна 180 ° .

(2) Найдите значение x на диаграмме ниже.

Решение:

В этом упражнении мы получаем, что

Глядя на ? RST , мы видим, что нам даны два из трех углов.Таким образом, мы можем применить теорему о сумме углов треугольника, чтобы вычислить меру третий угол:

Обратите внимание, что ? SRT - это вертикальный угол, противоположный ? QRP , поэтому мы можем сделать вывод, что

Тогда по определению конгруэнтных углов имеем

Теперь у нас есть одна из трех угловых мер: ? QRP .Поскольку мы знаем, что m? P = m? Q = x , мы можем использовать теорему о сумме углов треугольника следующим образом

Мы обнаружили, что размер ? P и ? Q равен 67 .

Чтобы понять следующую теорему, мы должны выучить еще два термина, описывающих углы. Угол, образованный одной стороной треугольника с продолжением другой. сторона называется внешним углом треугольника.

Наружные углы получили свое название, потому что расположены на внешней стороне треугольников.

Два угла, которые не примыкают к внешнему углу треугольника или рядом с ним. называются удаленных внутренних углов .

Теперь, когда мы знаем, что означают эти термины, мы готовы к теореме, которая поможет в наших доказательствах.

Теорема о внешнем угле

Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух удаленных внутренних углов.

Суммируя размеры двух удаленных внутренних углов треугольника, получаем внешнего угла.

Давайте посмотрим, как можно использовать теорему о внешнем угле, чтобы помочь нам найти меры неизвестных углов в примерах ниже.

Примеры

(1) Найдите размеры ? 1 и ? 2 на рисунке ниже.

Решение:

Во-первых, мы можем решить для м? 1 , поскольку нам дана мера двух углы этого треугольника.Эта часть проблемы аналогична примерам, которые мы уже сделали выше. Начнем с утверждений о том, что нам дано, что являются:

Теперь мы можем найти м? 1 , используя теорему о сумме углов треугольника. Итак, у нас

Чтобы найти меру ? 2 , нам нужно будет применить Теорема о внешнем угле.Мы знаем, что два удаленных внутренних угла на рисунке являются ? S и ? A . Таким образом, по теореме о внешнем угле сумма этих углов равна мере внешнего угла. У нас

Хотя это и не всегда необходимо, мы можем проверить наше решение, используя наши предыдущие знания. линий.Мы видим, что ? 1 и ? 2 составляют луч AK . А поскольку прямые имеют размеры 180 ° , мы знаем, что сумма из ? 1 и ? 2 должны быть 180 . Давай проверим чтобы убедиться:

Итак, мы знаем, что решили эту проблему правильно.

(2) Найдите m? B .

Решение:

Давайте сначала посмотрим на информацию, которую нам дали. Мы знаем, что

Сразу же мы можем применить теорему о внешнем угле, чтобы помочь нам решить проблема.У нас

Однако это не дает ответа на вопрос. Вопрос задан для m? B . Сама по себе переменная x не говорит нам, какова мера угла является. Итак, мы должны подставить x = 4 в наше уравнение для м? B :

,

Теперь мы обнаружили, что размер ? B равен 39 ° .

,

Смотрите также